Bab 1
Himpunan & Logika
- 1. I. Definisi
himpunan• Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda.Untuk
menyatakan, digunakan huruf KAPITAL seperti A, B, C, dsb.Untuk
menyatakan anggota-anggotanya digunakan hurufkecil, seperti a,b,c,
dsb.• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota•
HIMATEK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.26 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 2
- 2. Cara
Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan
didaftarkan secara rinci. Contoh 1. - Himpunan
empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan
lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}. - C
= {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a,
c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2,
…}.26/01/2012 Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
- 3.
2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2,
3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z =
himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan
bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan
kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan
dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}
dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3,
5}.26/01/2012 Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
- 4.
3. Notasi Pembentuk HimpunanNotasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh
x }Contoh 4.(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5
A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x |
x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}(ii) M = { x | x
adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}26/01/2012
Heru Nugroho Politeknik Telkom 2009
- 5. 4. Diagram Venn Contoh
5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B =
{2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A B
7 1
2 8 5 4
3 626/01/2012 Heru
Nugroho Politeknik Telkom 2009
- 6. 1. A = {1, 3, 5, 7, 9,
…} 2. B = {‘hafidz’, 20, ‘matematika’,2004} 3. C = {a,
b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} 4. D = {x : x<15, x bilangan
Prima} 5. E = {x: x2 + 2x + 5 = 0, x R}26 January 201 MATEMATIKA DISKRIT 7
- 7. Simbol
digunakan untuk keanggotaan suatu elemen, dan untuk menyatakan bukan
anggota digunakan . Jika C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}}
Maka: a C, b C, e C, f C, {a} C, {e, 9} C
{c} C, {d} C, {b} C, {b, c} C Banyaknya anggota dari suatu
himpunan disebut bilangan kardinal. dinyatakan dengan n(C) atau |C|
Jadi n(C) = 7 atau |C| = 726 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 8
- 8. HIMPUNAN SEMESTA: himpunan
yang mencakup semua anggota yangsedang dibicarakan.HIMPUNAN KOSONG :
adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.Himpunan kosong dinyatakan
dengan simbol atau { }.Himpunan {0} bukan himpunan kosong, melainkan
suatu himpunan yangmempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.26 January
2012 MATEMATIKA DISKRIT 9
- 9.
HIMPUAN YANG EKIVALENDua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan
ekivalen jikabanyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B,
ditulisdengan n(A) = n(B) ata |A| = |B|.Dua himpunan yang sama pasti
ekivalen.DIAGRAM VENN (John Venn pada tahun 1881)Himpunan digambarkan
dengan sebuah oval (tidak harus), dananggota-anggotanta digambarkan
dengan sebuah noktah (titik) yangdiberi label, sedangkan himpunan
semesta digambarkan dengan segiempat.26 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 10
- 10. Contoh-1 : S =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} A = {2,3,6,8,9,11}
B
S A B = {1,3,4,5,7,8}
1
9 2
3 4Simbol untuk keanggotaan
5
6 8Jadi: 2 A, 4 B
11 7
10 12 4 A, 9 B
3 A, 3 B 8 A, 8 B26 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 11
- 11.
HIMPUNAN BAGIAN (SUB SET)Himpunan B dikatakan himpunan bagian dari
himpunan A jika setiap x Bmaka x A , dinotasikan dengan B A .B A
dibaca sebagai “B terkandung di dalam A”.Kita dapat juga menulis dengan A
B , yang berarti A mengandung B.Contoh-2 : Jika A = {a, b, c}maka
himpunan-himpunan bagiannya adalah:{ } Himpunan
kosong{a}, {b}, {c} Himpunan yang terdiri atas satu anggota.{a,b},
{a,c}, {b,c} Himpunan yang terdiri atas dua anggota.{a,b,c}
Himpunan yang terdiri atas tiga anggota.26 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 12
- 12. M
A C
Simbol himpunan
Bagian A M
B M
C M B26 January
2012 MATEMATIKA DISKRIT 13
- 13.
HIMPUNAN KUASA (Power set)Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah suatu
himpunan yanganggotanya adalah semua himpunan bagian dari A,
termasukhimpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan
kuasadinotasikan dengan P(A) atau 2A .Contoh : Jika A = {a, b, 5}, maka
himpunan kuasa dari A adalah P(A) = , {a}, {b}, {5},
{a, b}, {a,5}, {b,5}, {a, b,5}26 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 14
- 14. Definisi : A U B
= { x | x A atau x B }
A B Contoh-1 A = {
2, 3, 5, 7, 9} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }
C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14,
L} E = {1, 2, 4 } Maka : A U B = { 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A U D = {2, 3, 5, 7, 9, Anto,
14, L} BUC = ? BUD = ? CUD
=?26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT
15
- 15. Definisi : A B = {x|x A
dan x B } A
B Contoh : Maka : A = { 2, 3, 5, 7,
9} A B = {2, 5} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } E B = {
1,2 4} C = { 10, 11, 14, 15} A C={} A E =
{2} D = { Anto, 14, L} D C = {14} E = {1, 2, 4 }
A D={}26 January 2012 MATEMATIKA
DISKRIT 16
- 16. Definisi : A – B = { x | x
A dan x B} Contoh A = {2,3,4,6,7,9}
A B B = {1,2,3,5,6,8,9,10}
C = {3,5,9} Maka : A – B = {4,7} B – A =
{1,5,8,10} A–C={ B–C={
C–B={26 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT
17
- 17. Definisi: A B = { x | (x A atau x B)
dan X (A B) } A B = (A U B) – (A B)
A B
A B = (A - B) U (B - A) Contoh:A =
{1,2,3,5,6,8,9,10} ; B = {2,7,8,11} ; C = {1,3,5,7,9,11}
; D = {0,1,2,5,6,7,9,12}Maka : A B =
{1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11} B
C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9} A C =
{1,2,3,5,6,7,8,9,10,11} = {2,6,7,8,10,11} A D =
{0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,12} = {0,3,7,8,10,12}26 January 2012
MATEMATIKA DISKRIT 18
- 18.
Definisi : Ac = {x|x A dan x S }
Ac
Contoh : A
A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; B = {1, 2,
4, 6, 7, 9, 13} S = { x | x bilangan asli 14}
S A B Maka :
4 13
5 6
Ac = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14}
7 10
8 2
Bc = {3,5, 8,11,12,14}
3 9
1
11 14
1226 January 2012 MATEMATIKA DISKRIT
19
- 19. Diberikan himpunan-himpunan
berikut: A = { 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 18, 20 } B = { 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 12, 13 } C = { 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 17, 18 } S =
{ x | x <= 20 , x bilangan asli } = Himpunan Semesta a.
Gambarkan Diagram Venn himpunan-himpunan di atas dalam
satu gambar. Tentukanlah : b. ( C B ) – ( A C ) c. ( A – B ) (C
B) c d. ( C – A ) (C B)
c e. A C) ( (B – C) A )
- 20. Dua
Himpunan• Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga, maka A U B
dan A B juga berhingga, dan | A U B | = |A| + |B| - | A B |• Banyaknya
elemen hasil penggabungan dua himpunan A dan B sama dengan banyaknya
elemen himpunan A ditambah dengan banyaknya elemen himpuanan B,
dikurangi dengan banyaknya elemen hasil irisan A dan B
- 21.
Tiga Himpunan• Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan berhingga,
maka| A U B U C | = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B
C| + A B C |
- 22. Hasil survei terhadap 60 orang pembaca koran,
diperoleh data sbb.:• 25 orang membaca Kompas• 26 orang membaca Merdeka•
26 orang membaca Bola• 9 orang membaca Kompas dan Bola• 11 orang
membaca Kompas dan Merdeka• 8 orang membaca Merdeka dan Bola• 3 orang
membaca Ketiganya.Tentukan:a. Banyaknya orang yang membaca paling
sedikit satu buah koran.b. Gambarkan diagram Venn untuk masalah ini,c.
Berapa orang yang membaca hanya satu koran.
- 23. Misal:A =
Himpunan orang yg suka baca koran kompasB = Himpunan orang yg suka baca
koran merdekaC = Himpunan orang yg suka baca koran bolaMaka|A| = 25 |A
B|= 11 |A B C|= 3|B| = 26 |A C|= 9|C| = 26 |B C|= 8
- 24.
a. |A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B
C| + A B C | = 25 + 26 + 26 - 11 – 9 – 8 + 3
= 52
- 25. A B
11 13
5
3 6
5b) |A| = 25 |A B|= 11 8
10 C|B| = 26 |A
C|= 9|C| = 26 |B C|= 8 |A B C|= 3• Baca kompas &
merdeka tidak Bola = 11 – 3 = 8• Baca kompas & bola tidak merdeka = 9
– 3 = 6• Baca merdeka & bola tidak kompas = 8 – 3 = 5• Baca kompas
saja = 25 – 5 – 3 – 6 = 11• Baca merdeka saja = 26 – 5 – 3 – 5 = 13•
Baca bola saja = 26 – 5 – 3 – 6 = 12c) Banyak orang yang membaca hanya
satu koran = 11 + 13 + 12 = 36
LOGIKA
1. Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif/berita yang bernilai benar atau salah, tidak mungkin kedua-duanya.
Contoh:
6 adalah bilangan genap | Benar
2 + 2 = 7 |Salah
x>= 17 | bukan proposisi
2. Mengkombinasikan Proposisi
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan
proposisi baru. Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian
tersebut dinamakan proposisi majemuk.
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika.
Operator-operator logika dapat meliputi:
1. AND
2. OR
3. NOT
Contoh:
P : Hari ini hujan
Q: Murid-murid diliburkan
P ^ Q : Hari ini hujan dan murid murid diliburkan
~P : Hari ini tidak hujan
3. Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran yang memiliki nilai benar semua disebut tautologi.
Tabel kebenaran yang memiliki nilai salah semua disebut kontradiksi
4. Hukum-hukum Logika
